两点确定一条直线 为什么两点确定一条直线

     为什么两点确定一条直线？要回答这个问题我们必须首先明确几个概念.

对于几何空间 R3\mathbb{R}^3 以及 R3\mathbb{R}^3 的子空间 WW ，我们规定一如下的二元关系∼\sim:

α∼β⟺α−β∈W.\alpha\sim\beta\iff\alpha-\beta\in W. 

容易证明∼\sim是R3\mathbb{R}^3上的等价关系. 

定义子空间 WW 的一个陪集：α+W:={α+γ∣γ∈W}\alpha+W:=\left\{\alpha+\gamma\mid\gamma\in W\right\} ，其中 α∈R3\alpha\in\mathbb{R}^3 称作陪集 α+W\alpha+W 的一个代表. 则有 α+W=α¯\alpha+W=\overline{\alpha} ，其中 α¯\overline{\alpha} 是 α\alpha 在等价关系 ∼\sim 下的等价类. 于是可以定义 R3\mathbb{R}^3 的一个商集 R3/W={α+W∣α∈R3}\mathbb{R}^3/W=\left\{\alpha+W\mid \alpha\in\mathbb{R}^3\right\} . 至此，我们便可给出点和直线的定义：

点 点是几何空间R3\mathbb{R}^3的元素.

直线 直线是R3\mathbb{R}^3维数为 11 的子空间的陪集.

为说明这里定义的确实是欧式几何中的点和直线，我们需要给出对欧式几何中几条关于点和直线的公理的证明.

1.任意两个点可以通过一条直线连接.

首先给出“连接”的定义.

对于两个不相等的点 α,β∈R3\alpha,\beta\in\mathbb{R}^3 ，若存在直线 VV 使得 α,β∈V\alpha,\beta\in V ，则称点 α,β\alpha,\beta 可通过直线 VV 连接.

存在性：因 α−β≠0\alpha-\beta\neq \bm{0} ，故可命 W=⟨α−β⟩W=\left<\alpha-\beta\right> . 容易验证 V=α+WV=\alpha+W 即是满足条件的一条直线.

唯一性：对于任给的另一满足条件的直线 V′=α′+W′V'=\alpha'+W' ，因 dim⁡W′=1\dim W'=1 ，故可设 W′W' 的一个基 γ′\gamma' ，则 V′V' 中的所有元素均可唯一地表示为 α′+kγ′,k∈R\alpha'+k\gamma',\quad k\in\mathbb{R} 的形式. 所以 α−β=(α′+kαγ′)−(α′+kβγ′)=(kα−kβ)γ′\alpha-\beta =(\alpha'+k_\alpha\gamma')-(\alpha'+k_\beta\gamma') =(k_\alpha-k_\beta)\gamma' . 故 W=W′W=W' . 进而对于子空间 WW ，有 α∼α′\alpha\sim\alpha' ，因而 V′=α′¯=α¯=VV'=\overline{\alpha'}=\overline{\alpha}=V . 这便说明直线VV是唯一的.

2.过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行.

首先给出平行的定义.

两条直线平行当且仅当它们是同一个子空间的陪集，且它们的代表在这个子空间下不等价.

为说明定义的合理性，我们需要证明任何两条平行直线都是不交的. 反证法. 设 R3\mathbb{R}^3 的子空间 W=⟨γ⟩W=\left<\gamma\right> ，直线 V1=α1+WV_1=\alpha_1+W 与 V2=α2+WV_2=\alpha_2+W 平行. 若存在点 β∈V1∩V2\beta\in V_1\cap V_2 ，则有 α1+k1γ=β=α2+k2γ\alpha_1+k_1\gamma=\beta=\alpha_2+k_2\gamma ，即 α1−α2=(k2−k1)γ∈W\alpha_1-\alpha_2=(k_2-k_1)\gamma\in W . 这说明 α1∼α2\alpha_1\sim\alpha_2 ，矛盾. 所以 V1∩V2=∅V_1\cap V_2=\emptyset .

设直线 V=α+WV=\alpha+W 及直线外一点 α′\alpha' ，其中 W=⟨γ⟩W=\left<\gamma\right> . 那么命 V′=α′+WV'=\alpha'+W 便有 V//V′V/\!\!/ V' . 若另有 U=β+WU=\beta+W 满足 V//UV/\!\!/ U，则 β∼α′\beta\sim\alpha' ，所以 U=β¯=α′¯=V′U=\overline{\beta}=\overline{\alpha'}=V' ，所以 UU 是唯一的.

由1.的唯一性便知，确实有“两点确定一条直线”.

注：由于尚未给出 R3\mathbb{R}^3 上内积的定义，所以事实上还不能说明上面的定义是满足欧氏几何公理的.